SISTEM BILANGAN

SISTEM BILANGAN

BASIS atau RADIK

Ada bermacam-macam sistem bilangan. Masing-masing sistem bilangan tersebut dibatasi oleh apa yang dinamakan Basis atau Radik (Radix) : yaitu banyaknya angka atau “ Digit “ yang digunakan. Misalnya sistem bilangan Desimal, mempunyai sepuluh digit yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sedangkan bilangan desimal adalah bilangan yang mempunyai radik : r = 10.

Nama dari masing-masing sistem bilangan itu pun berasal dari basis atau radiknya. Misalnya, dinamakan bilangan desimal karena berarti sepuluh atau kelipatan sepuluh. Oleh karena itu dinamakan juga bilangan puluhan. Sitem bilangan yang lain misalnya bilangan Oktal, dinamakan begitu karena radiknya adalah delapan (Oktal : delapan ). Bilangan Biner, karena radiknya adalah dua ( Bi : mengandung arti dua ).

Karena orang sudah biasa berhitung memakai bilangan desimal, maka tidak banyak mempersoalkan tentang radiknya. Namun untuk mempelajari sistem bilangan yang lainnya, perhitungan tentang radik adalah sangaat penting karena radik untuk menentukan nilai ataau bobot bilangan tersebut.

BOBOT BILANGAN

Bobot suatu bilangan tergantung dari radik dan sususan digit-digitnya. Misalnya bilangan desimal 156 atau ditulis (156)₁₀, mempunyai bobot bilangan seebagai berikut :

6 : menunjukkan harga satuaan ( = 6 ).

5: menunjukkan harga puluhan ( = 50 ).

1: menunjukkan harga ratusan ( = 100 ).

Sehingga :    (156)₁₀    = 6 + 50 + 100.

= (6 X 10⁰) + ( 5 X 10¹ ) + ( 1 X 10² ).

Bila dari persamaan bobot bilangan desimal tersebut angka-angka atau digit-digitnya diganti : d.

Dihitung mulai dari angka satuan, digit kesatu :d0

Digit kedua : d1

Digit ketiga : d2

Basis atau radik: 10 = r, bilangan 156 = N, maka akan didapat suatu rumus bobot bilangan :

( N )r = d₀r⁰ + d₁r¹ + d₂r² + ……..

Rumus tersebut berlaku secara umum untuk mengetahui nilai desimal (bobot bilangan) dari berbagai bilangan dengan radik yang lain, dan berlaku untuk bilangan utuh (bukan pecahan).

BILANGAN OKTAL

Bilangan Oktal hanya menggunakan delapan digit saja, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Sehingga radik bilangan oktal adalah : r = 8. Dengan demikian suatu bilangan oktal tidak pernah mempunyai angka 8 dan 9, kecuali untuk menunjukkan radiknya tetap dipakai angka 8. Misalnya bilangan oktal 61 atau (61)₈, nilainya tidak sama dengan bilangan desimal 61, melainkan sama dengan bilangaan desimal 49 (menjadi lebih kecil). Cara mengetahui nilai desimalnya dengan menggunakan rumus bobot bilangan di atas tadi.

( N )r = d₀r⁰ + d₁r¹

(61)₈ = ( 1 X 8⁰ ) + ( 6 X 8¹ )

= 1 + 48

= ( 49 )₁₀.

Contoh : Berapa nilai desimal dari bilangan oktal 1257 ?

( 1257 )₈ = ( 7 X 8⁰ ) + ( 5 X 8¹ ) + ( 2 X 8² ) + ( 1 X 8³ )

= 7 + 40 + 128 + 512

= ( 687 )₁₀

BILANGAN DUODESIMAL

Kalau bilangan desimal mempunyai radik sepuluh, bilangan Duodesimal radiknya lebih dua : r = 12. Digit-digitnya adalah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A dan B. Huruf A dan B menggantikan bilangan desimal 10 dan 11, sehingga :        A = ( 10 )₁₀.

B = ( 11 )₁₀

Untuk mengetahui nilai desimal dari bilangan duodesimal tetap memakai rumus bobot bilangan (rumus N).

Contoh : Hitunglah nilai desimal (bobot bilangan) dari bilangan duodesimal 2AB.

   ( 2AB )₁₂      = ( B X 12⁰ ) + ( A X 12¹ ) + ( 2 X 12² )

= B + ( 10 X 12 ) + ( 2 X 12² )

= 11 + 120 + 288

= ( 419 )10

BILANGAN HEKSADESIMAL

Bilangan Heksadesimal mempunyai radik : r = 16. Ke – 16 digit-digitnya yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F. Huruf-huruf A sampai F menggantikan bilangan desimal 10 sampai 15 :

A = ( 10 )10 B = ( 11 )10 C = ( 12 )10

D = ( 13 )10 E = ( 14 )10 F = ( 15 )10

Dengan menggunakan rumus N dapat diketahui nilai desimal dari suatu bilangan heksadesimal.

Contoh : Hitunglah nilai desimal dari ( 1A2B )₁₆

   ( 1A2B )₁₆    = ( B X 16⁰ ) + ( 2 X 16¹ ) + ( A X 16² ) + ( 1 X 16³ )

= B + 32 + ( 10 X 256 ) + 4096

= 11 + 32 + 2560 + 4096

= ( 6699 )₁₀

BILANGAN BINER

Bilangan Biner hanya mempunyai dua digit saja, yaitu digit “ 0 ‘ dan digit “ 1 “. Sehingga bilangan biner merupakan sistem bilangan yang mempunyai radik paling kecil : 2. Dengan menyusun digit-digit 0 dan 1 sesuai kaidah yang berlaku, orang dapat berhitung seperti bilangan desimal biasa.

Keuntungannya, digit 0 dan 1 dapat diwujudkan oleh besaran elektris yaitu tegangan (voltage). Sehingga nantinta orang dapat dengan mudah mengetahui nilai elektris dari suatu bilangan desimal biasa, bahkan juga kata-kata yang berrupa perintah ataupun informasi, setelah semuanya disandi dalam bilangan biner tersebut. Hal itu dilakukan pada mesin-mesin logika, misalnya Digital Komputer, yaitu komputer yang bekerja dengan informasi atau data numerik yang dinyatakan dalam bentuk digital.

Dalam besaran listrrik, digit 0 : berarti tidak ada tegangan (sebenaarnya tetaap ada, tetapi kecil sekali 0 – 2,4 V), sedangkan digit 1 : berarti ada tegangan (2,4 – 5 V).

Bilangan binerr dari 0 sampai 15 dapat dilihat pada tabel ini :

Tabel 1.1

Bilangan desimal	Bilangan Biner
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	1	0	0	0
9	1	0	0	1
10	1	0	1	0
11	1	0	1	1
12	1	1	0	0
13	1	1	0	1
14	1	1	1	0
15	1	1	1	1

Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa nilai digit 1 bertambah besar bila bergeser ke kiri. Sehingga bila menghitung naik (Count – Up), digit 1 harus selalu digeser ke kiri. Sebaliknya bila menghitung turun (Count – Down), digit 1 harus digeser ke kanan. Dengan demikian digit yang paling kanan bernilai yang paling kecil, digit yang paling kiri bernilai yang paling besar.

Digit yang paling kanan : disebut LSD (Least Significant Digit), yaitu digit yang mempunyai bobot paling kecil.

Digit yang paling kiri : disebut MSD (Most Significant Digit), yaitu digit yang mempunyai bobot paling besar.

Dan karena masing-masing digit bilangan biner itu disebut pula “Bit” (berasal dari : Binary Digit), maka singkatan atau istilah LSD dapat diganti dengan LSB (Least Significant Bit), istilah MSD dfapat diganti dengan MSB (Most Significant Bit). Kedua istilah tersebut sangat penting dalam perhitungan bilangan biner selanjutnya.

Contoh LSB dan MSB : MSB              1 0 1 1 0              LSB

                                       MSB            1 1 0 1 0 1             LSB

Selanjutnya untuk mengetahui nilai desimal dari biolangan biner, dapat digunakan rumus N ( rumus bobot bilangan ) seperti yang telah dikerjakan pada sistem bilangan yang lain. Pelaksanaannya dikerjakan sebagai berikut :

( 1 1 1 0 1 0 1 )₂                   = ( ………..)₁₀

1     1     1     0     1     0     1 = 1 + 4 + 16 + 32 + 64

2⁶    2⁵      2⁴     2³      2²      2¹     2⁰= (117)  

64  32   16   8      4     2     1

Keterangan : Dengan r =2, maka tiap –tiap bit mulai dari LSB mempunyai bobot kelipatan dari 20, 21 ……, atau deret bilangan 1, 2, 4, 8, 16 …… Sehingga tinggal menjumlahkan bobot masing-masing digit 1.

Contoh : Hitung nilai desimal dari ( 1010101 )₂

1     0     1     0     1     0     1 = 1 + 4 + 16 + 64

64         16           4            1 = (85)₁₀

Kembali pada tabel 1.1 ddi atas tadi, di situ terlihat bahwa 4 bit bilangan biner yang penuh berisi digit 1 mempunyai bobot 15. Berarti kemampuan berhitung dari 4 bit hanya sampai 15, lewat dari itu harus tambah bit.

(15)10 = (1111)2 …………..banyak bit : 4

15       = 16 – 1

15       = 24 – 1 ……………… 2 = radik

Dari persamaan tersebut, bila banyaknya bit = 4 diganti n, radik = r, dan bilangan 15 (nilai tertinggi 4 bit) diganti B, maka didapat suatu rumus :

                        B = rⁿ - 1

Atau dikatakan, bahwa kemampuan berhitung dari sejumlah bit bilangan biner sama dengan radik pangkat banyaknya bit, setelah itu dikurangi satu. Misalnya bilangan biner yang terdiri dari 5 bit, kemampuan berhitung (bobot tertinggi) adalah :

(11111)₂  = 2⁵ – 1

                = 32 – 1 = (31)2

Dalam tabel dapat dilihat pula, 3 bit penuh : 111 = 7, 2 bit penuh : 11 = 3 sesuai rumus di atas tadi.

MENGUBAH BILANGAN DESIMAL MENJADI BILANGAN RADIK LAIN

 Pada tulisan terdahulu telah diketahui cara mencari bobot bilangan atau nilai desimal dari suatu sistem bilangan dengan radik yang llain. Kebalikan dari proses tersebut adalah mengubah dari bilangan desimal menjadi bilangan radik lain, misalnya menjadi bilangan oktal, menjadi bilangan biner dan sebagainya.

Pada umumnya mengubah bilangan desimal menjadi bilangan radik lain dapat dilakukan dengan cara pembagian yang terus menerus : bilangan desimal tersebut dibagi dengan radik bilangan baru yang dikehendaki, terus menerus sampai habis atau sampai hasilnya sama dengan nol. Sisa tiap-tiap pembagian akan menjadi digit-digit bilangan baru tersebut. Sisa pembagian yang pertama menjadi digit yang paling kanan atau LSD, berturut-turut sehingga sisa pembagian yang terakhir menjadi digit yang paling kiri atau MSD.

Agar lebih jelas ikuti contoh-contoh di bawah ini.

Mengubah Bilangan Desimal Menjadi Oktal

Contoh : Ubahlah (1675)₁₀ menjadi bilangan Oktal

1675 : 8 = 209 sisa 3      (LSB)

  209 : 8 = 26 sisa 1

    26 : 8 = 3 sisa 2

      3 : 8 = 0 sisa 3          (MSD)

(1675)₁₀ =  (3213)₈

Mengubah Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Heksadesimal

Contoh : Buatlah sandi heksadesimal dari bilangan desimal 6699

6699 : 16 = 418 sisa 11   = B     (LSB)

  418 : 16 = 26   sisa 2

    26 : 16 = 1     sisa 10   = A

      1 : 16 = 0     sisa 1               (MSB)

(6699)₁₀ = (1A2B)₁₆

Mengubah Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Biner

Contoh : Buatlah bilangan biner dari (35)₁₀

35 : 2 = 17 sisa 1            (LSB)

17 : 2 = 8   sisa 1

  8 : 2 = 4   sisa 0

  4 : 2 = 2   sisa 0

  2 : 2 = 1   sisa 0

  1 : 2 = 0   sisa 1            (MSB)

(35)₁₀ = (100011)₂

Mengubah bilangan desimal ke bilangan biner seperti yang dikerjakan pada contoh di atas kadang kadang terlalu menghabiskan waktu dan tempat, terutama dalam mengubah bilangan desimal yang besar. Oleh karena itu ada cara lain yang lebih mudah, yaitu dengan menguraikan bilangna desimal menjadi beberapa bilangan yang merupakan yang merupakan kelipatan 20,21 ……dan seterusnya. Untuk pertama kali harus dibuat taabel yang berisi urutan bobot bilangan biner tersebut.

No. Bit	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Bobot Bilangan	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Tabel diatas berguna untuk mengetahui dari bit nomor berapa penguraian bilangan desimal tersebut dimulai, seterusnya penguraian harus berurutan ke arah bobot bilangan yang lebih kecil. Misalnya contoh diatas, bilangan 35 lebih kecil dari 64 (bit no. 7), maka penguaraian dimulai dari 32 (bit no. 6).

35 = 32 + 3

     = 32 + 2 + 1

Dari penguraian tersebut diketahui bahwa yang berisi digit-digit 1 hanyalah bit-bit no. 6, no. 2 dan no. 1 saja, sehingga didapat hasiolnya (100011)₂

Contoh : Buatlah bilangan biner dari (145)10

145 = 128 +17

 = 128 + 16 + 1 (Bit no. : 8, 5, dan 1)

(145)₁₀ = (10010001)₂

Contoh : Buatlah bilangan biner dari (451)₁₀

451   = 256 + 195

= 256 + 128 + 67

= 256 + 128 + 64 + 3

= 256 + 128 + 64 + 2 + 1 (Bit no. : 9, 8, 7, 2 dan 1)

(451)₁₀ = (111000011)₂

MENGUBAH BILANGAN BINER MENJADI BILANGAN OKTAL

Pada umumnya untuk mengubah bilangan dari radik yang satu ke radik yang lain dapat dilakukan dengan melalui pengubahan dulu menjadi bilangan desimal. Setelah menjadi bilangan desimal (diubah dengan rumus N/bobot bilangan), baru dilakukan pengubahan ke sistem bilangan yang dikehendaki (cara pembagian dengan rasdik terus menerus sampai habis).

Untuk mengubah bilangan binerr menjadi bilangan oktal ada cara lain yang lebih mudah yaitu dengan cara pengubahan langsung. Hal itu dilakukan dengan mengelompokan bit-bit bilangan biner tersebut tiga-tiga dimulai dari LSB. Masing-masing kelompok itu kemudian dibaca bobot bilangan atau nilai desimalnya. Susunan bobot bilangan tersebut sudah merupakan bilangan oktalnya.

Contoh : Hitunglah nilai Oktal dari ( 1 1 0 1 0 1 1 1 )₂

                        1 1 0 1 0 1 1 1 = 1 1   0 1 0   1 1 1  =  ( 327 )₈

                                       LSB       3       2        7

MENGUBAH BILANGAN OKTAL MENJADI BILANGAN BINER

Mengubah bilangan octal menjadi bilangan biner dapat dilakukan dengan mudah, yaitu sebagai kebalikan dari proses yang dilakukan di atas tadi. Dalam hal ini masing-masing digit octal diubah langsung menjadi biner kelompok tiga bit, kemudian menyusun kelompok bit tersebut sesuai urutan semula.

Contoh : Ubahlah ( 347 )₈ mejadi bilangan biner.

                        (    3       4       7    )₈ = ( 1 1 1 0 0 1 1 1)₂

                           011   100   111

MENGUBAH BILANGAN BINER MENJADI BILANGAN HEKSADESIMAL

Mengubah bilangan biner menjadi bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan mengubah dulu bilangan biner menjadi bilangan decimal biasa, kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara pembagian oleh radik : 16 terus menerus sampai habis. Tetapi ada cara lain yang lebih mudah, yaitu pengubahan langsung. Cara pengubahan langsung dilakukan dengan mengelompokan bilangan biner tersebut masing-masing empat bit dimulai dari LSB. Susunan dari bobot bilangan masing-masing kelompok sudah merupakan bilangan heksadesimal.

Contoh : Ubahlah ( 10111000111)₂ menjadi heksadesimal.

1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1      =     1 0 1   1 1 0 0   0 1 1 1

                            LSB             5          12           7

                                                             C

                                      =     ( 5C7 )₁₆

MENGUBAH BILANGAN HEKSADESIMAL MENJADI BILANGAN BINER

Mengubah bilangan heksadisimal menjadi bilangan biner dilakukan sebagai kebalikan dari proses diatas, yaitu dengan mengubah langsung masing-masing digit bilangan heksadesimal menjadi bilangan biner empat bit. Setelah itu disusun urutan semula.

Contoh : Ubahlah ( 493 )₁₆ menjadi bilangan biner.

               (   4            9            3   )₁₆  =  ( 10010010011 )₂

                0100      1001      0011

BILANGAN PECAHAN

Pada uraian terdahulu telah diketahui cara menghitung bobot bilangan dari bermacam-macam system bilangan, yaitu dengan menggunakan rumus (N)r = d₀r⁰ + d₁r¹ + d₂r² + …. Dan seterusnya. Rumus tersebut hanya berlaku untuk atau bilangan yang tidak mengandung pecahan. Untuk mencari bobot bilangan pecahan dilakuakn sebagai berikut :

Misalnya bilangan pecahan (0,75)10, bobotnya adalah :

0,75  =  75 

            100

        =  7  +  5  

           10     100

            =( 7 X 10^-1 ) + ( 5 X 10^-2 )

Bila digit diganti dengan : d_-1, digit 5 diganti : d_-2 dan radik 10 = r, dimasukkan dalam persamaan diatas, maka didapat rumus bobot bilangan pecahan : d_-1r^-1 + d_-2r^-2 + ….dan seterusnya.

Bila rumus tersebut digabungkan dengan rumus bobot bilangan utuh, mendapatkan rumus umum bobot bilangan sebagai berikut :

( N )r = d_nrⁿ + d_n-1r^n-1  +       d₂r²  + d₁r¹ + d₀r⁰ +            d_-1r^-1 + d_-2r^-2 +        d_-nr^-n

Dimana :

n : menunjukkan digit yang keberapa dihitung dari satuan/ d₀

d : digit yang dipergunakan.

R : radik atau basis bilangan

Dengan rumus tersebut dapat dihitung bobot bilangan dari berbagai system bilangan, baik utuh maupun yang mengandung pecahan. Di bawah ini diberikan beberapa contoh :

(35,27)₈ = (3 X 8¹) + (5 X 8⁰) + (2 X 8^-1) + (7 X 8^-2)

(4,3A)₁₂ = (4 X 12⁰) + (3 X 12^-1) + (A X 12^-2)

(7,BC)₁₆ = (7 X 16⁰) + (B X 16^-1) + (C X 16^-2)

(11,11)₂ = (1 X 2¹) + (1 X 2⁰) + (1 X 2^-1) + (1 X 2^-2)

Untuk mengubah bilangan decimal yang mengandung pecahan menjadi bilangan radik lain, masing-masing bagian yang utuh dan yang pecahan dikerjakan sendiri-sendiri. Bilangan yang utuh diubah dengan cara pembagian oleh radik terus menerus sampai habis. Bilangan pecahan diubah dengan cara : mengalikan berturut-turut dengan radik baru yang dikehendaki. Tiap-tiap hasil perkalian yang utuh (bukan pecahan), menjadi digit-digit pecahan bilangan baru tersebut.

Selanjutnya dibawah ini diberikan contoh pengubahan bilangan decimal yang mengandung pecahan ke bilangan biner, misalnya dari bilangan decimal 23,375 :

Bagian yang utuh	Bagian yang pecahan
23 : 2 = 11 sisa  :1 11 : 2 = 5   sisa  :1 5 : 2   = 2   sisa  : 1 2 : 2   = 1   sisa  :0 1 : 2   = 0   sisa  :1   ….(MSB)	0,375 X 2 = 0,750 0,750 X 2 = 1,500 0,500 X 2 = 1,00                   LSB

Setelah disusun dari MSB ke LSB, hasilnya : 23,375 = (10111,011)₂

Table 1.2

PERSAMAAN BILANGAN

Sistem	Biner	Oktal	Desimal	Duodesimal	Heksadesimal
Radik	2	8	10	12	16
	0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 100000	0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32 33 34 35 36 37 40	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 20 21 22 23 24 25 26 27	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20